course: Technische Informatik
university: Uni Freiburg
semester: SoSe 2026
professor: Prof. Dr. Armin Biere
type: slide
chapter: "6.2.3 BDDs ITE-Beispiel / Variablenordnung"
tags:
  - TI
  - TechnischeInformatik
  - BDD
  - ITE
aliases:
  - BDDs ITE-Beispiel und Variablenordnung

k623-Binaere_Entscheidungsdiagramme_BDDs_ITE-Beispiel_Variablenordnung

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Kapitel 6 – Formale Spezifikation von Hardware

Boolesche Ausdrücke (Wiederholung)
Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs)
2.1 Kanonische Darstellung, ROBDDs
2.2 Konstruktion von BDDs
2.3 ITE-Beispiel, Variablenordnung
Anwendung: Formale Verifikation mit BDDs
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik

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ITE-Berechnung: Beispiel (1/2)

BDDs:

: root , Blätter
: root , Blätter
: root , Blätter

Wir haben vorhin gerechnet: .

Dies entspricht: .

Wir wollen nun die rekursive ITE-Berechnung nachvollziehen.

Es liegt kein Terminalfall vor, obere Variable: .

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ITE-Berechnung: Beispiel (2/2)

Berechne zunächst rekursiv .

Rechne rekursiv mit Variable weiter:

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Beispiel:

, , :

Insgesamt:

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Beispiel:

Berechne zunächst rekursiv .

Ein Terminalfall liegt vor:

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Beispiel – Ende

Durch die Verwendung der sogenannten Unique Table (UT) sind die berechneten BDDs bereits reduziert: Somit muss ITE nur noch einen Knoten einfügen und seine ausgehenden Kanten „richtig lenken".

Ergebnis:

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Zur Komplexität von ITE

Bei der rekursiven Konstruktion von ITE überprüft man zunächst vor einem ITE-Aufruf, ob das BDD vielleicht bereits generiert wurde und in der sogenannten Computed Table (CT) referenziert wird.

Nur wenn dies nicht der Fall ist, wird das BDD durch den rekursiven Aufruf erzeugt, der Aufruf wird in der CT referenziert und das Ergebnis in die UT eingetragen.

Implementiert man dies effizient, wird die Komplexität von ITE zu .

Ohne Beweis (betrachte Anzahl möglicher Einträge in CT).

Somit lässt sich etwa die Komplexität von

durch abschätzen ( ist das BDD für die konstante 0-Funktion, das aus 1 Knoten besteht).

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ITE-Algorithmus

function ITE(F, G, H):
    // Überprüfe erst 4 Terminalfälle
    if F == 1: return G
    if F == 0: return H
    if G == 1 and H == 0: return F
    if G == H: return G

    R = Lookup_Computed_Table(F, G, H)
    if R exists: return R

    x = Top_Variable(F, G, H)    // Gleiche Variablenordnung
    high = ITE(F_{x=1}, G_{x=1}, H_{x=1})
    low  = ITE(F_{x=0}, G_{x=0}, H_{x=0})

    if high == low: return low

    R = Find_Or_Add_in_Unique_Table(x, high, low)
    Insert_in_Computed_Table((F, G, H), R)
    return R

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Größe von BDDs

Oft exponentiell.
Hängt stark von der Variablenordnung ab.
Siehe Beispiel auf der nächsten Folie.
Für viele in der Praxis vorkommende Funktionen sind BDDs zumindest für einige Variablenordnungen kompakt.
BDD-Minimierung: Finden einer „guten" Variablenordnung (ist wohl NP-hartes Problem).
Exakte und heuristische Verfahren.
Für einige Funktionen, u.a. Multiplizierer, ist BDD-Größe für jede Variablenordnung exponentiell.