course: Technische Informatik
university: Uni Freiburg
semester: SoSe 2026
professor: Prof. Dr. Armin Biere
type: slide
chapter: "6.2.2 Konstruktion von BDDs"
tags:
  - TI
  - TechnischeInformatik
  - BDD
  - Konstruktion
aliases:
  - Konstruktion von BDDs

k622-Binaere_Entscheidungsdiagramme_BDDs_Konstruktion_von_BDDs

Page 1

Kapitel 6 – Formale Spezifikation von Hardware

Boolesche Ausdrücke (Wiederholung)
Binäre Entscheidungsdiagramme (BDDs)
2.1 Kanonische Darstellung, ROBDDs
2.2 Konstruktion von BDDs
2.3 ITE-Beispiel, Variablenordnung
Anwendung: Formale Verifikation mit BDDs
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik

Page 2

Kofaktoren und Shannon-Zerlegung

Für eine Boolesche Funktion heißt definiert durch

für alle der Kofaktor von nach .

Entsprechend heißt definiert durch

der Kofaktor von nach .

Shannonscher Entwicklungssatz: Es gilt für beliebiges :

heißt Shannon-Zerlegung von .

Page 3

Zusammenhang Kompositionsregel, Kofaktoren und Shannon-Zerlegung

Sei ein innerer Knoten eines geordneten BDDs, der mit markiert ist. Dann kommt in Kindern von nicht vor (sonst mehrfaches Vorkommen auf dem gleichen Pfad).

Also sind die Subfunktionen , von von unabhängig, d.h. für alle gilt:

Es folgt dann:

Somit wird an die Shannon-Zerlegung berechnet:

Page 4

Konstruktion von BDDs

Über die Kofaktoren.

Beispiel: Um ein von bzgl. der Variablenordnung zu konstruieren, konstruiere BDDs von

und

Sie stellen die Söhne des Knotens dar. Wende dies rekursiv an (top-down Konstruktion).

Aus einem Booleschen Ausdruck über Boolesche Operationen.

Aus einem Schaltkreis über Boolesche Operationen (Symbolische Simulation).

Page 5

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Funktionstabelle für :


0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Page 6

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

(Siehe Funktionstabelle auf vorheriger Seite.)

Page 7

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Page 8

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Page 9

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Kofaktor :


0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Page 10

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Kofaktor :


0	1
1	1

Page 11

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

Kofaktor :


0	0
1	1

Page 12

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

BDD für : , mit und .

Page 13

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

BDD-Knoten: , , mit , .

Page 14

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

BDD-Knoten: , , , .

Page 15

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (1/3)

BDD-Knoten: , , , .

Page 16

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Funktionstabelle (wie auf Seite 5).

Page 17

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Page 18

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Page 19

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Kofaktor :


0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Page 20

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Kofaktor :


0	0
1	1

Page 21

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

Kofaktor :


0	0
1	0

Page 22

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

BDD-Knoten: , , mit , .

Page 23

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

BDD-Knoten: , , , .

Page 24

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

BDD-Knoten: , , , .

Page 25

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (2/3)

BDD-Knoten: , , , .

Page 26

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (3/3)

Funktionstabelle (wie auf Seite 5).

Page 27

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (3/3)

Page 28

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (3/3)

BDD-Knoten: , (für ), (für ), .

Page 29

BDD des Carry-Bits eines Volladdierers aus Kofaktoren (3/3)

Reduziertes BDD: , , , .

Page 30

Syntaktische BDD Top-Down Konstruktion

wobei nun

nur einmal berechnet wird (cache!).

Page 31

BDD aus einem Booleschen Ausdruck

Konstruiere (bottom-up) BDD von

Generiere bdd_x1, bdd_x2, bdd_x3, bdd_x4.
bdd_x1x2     := AND(bdd_x1, bdd_x2)
bdd_x1x2x3   := AND(bdd_x1x2, bdd_x3)
bdd_x2'      := NOT(bdd_x2)
bdd_x2'x4    := AND(bdd_x2', bdd_x4)
bdd_x3'      := NOT(bdd_x3)
bdd_x3'x4    := AND(bdd_x3', bdd_x4)
bdd_x1x2x3+x2'x4 := OR(bdd_x1x2x3, bdd_x2'x4)
bdd_f        := OR(bdd_x1x2x3+x2'x4, bdd_x3'x4)

Berechnung von AND, OR, NOT: Später!

Page 32

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

Schaltkreis mit Eingängen und Gattern.

Page 33

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8

Page 34

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3

Page 35

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5

Page 36

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5

Page 37

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5
bdd_out1 := OR(bdd_x1, bdd_11)       # (x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5) + x1

Page 38

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5
bdd_out1 := OR(bdd_x1, bdd_11)       # (x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5) + x1
bdd_12   := OR(bdd_x6, bdd_x7)       # x6 + x7

Page 39

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5
bdd_out1 := OR(bdd_x1, bdd_11)       # (x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5) + x1
bdd_12   := OR(bdd_x6, bdd_x7)       # x6 + x7
bdd_13   := AND(bdd_10, NOT(bdd_x8)) # x8' · x4 · x5

Page 40

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5
bdd_out1 := OR(bdd_x1, bdd_11)       # (x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5) + x1
bdd_12   := OR(bdd_x6, bdd_x7)       # x6 + x7
bdd_13   := AND(bdd_10, NOT(bdd_x8)) # x8' · x4 · x5
bdd_14   := AND(bdd_12, bdd_x8)      # x8 · (x6 + x7)

Page 41

BDD aus Schaltkreis: Symbolische Simulation

BDD-Operationen:

bdd_x1, bdd_x2, ..., bdd_x8
bdd_9    := XOR(bdd_x2, bdd_x3)      # x2 ⊕ x3
bdd_10   := AND(bdd_x4, bdd_x5)      # x4 · x5
bdd_11   := XOR(bdd_9, bdd_10)       # x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5
bdd_out1 := OR(bdd_x1, bdd_11)       # (x2 ⊕ x3 ⊕ x4·x5) + x1
bdd_12   := OR(bdd_x6, bdd_x7)       # x6 + x7
bdd_13   := AND(bdd_10, NOT(bdd_x8)) # x8' · x4 · x5
bdd_14   := AND(bdd_12, bdd_x8)      # x8 · (x6 + x7)
bdd_out2 := OR(bdd_13, bdd_14)       # x8'·x4·x5 + x8·(x6+x7)

Page 42

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

Volladdierer-Schaltkreis: , .

Page 43

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: .

Page 44

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit .

Page 45

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit .

Page 46

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit .

Page 47

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit (Reduktion beginnt: ).

Page 48

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit , (Reduktion).

Page 49

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit (weitere Reduktion).

Page 50

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

BDD-Knoten: , mit (weitere Reduktion).

Page 51

Beispiel: BDD des Carry-Bits eines FAs aus Schaltkreis

Reduziertes BDD: , , .

Page 52

Übrigens ...

Wir haben soeben einen Äquivalenzcheck durchgeführt!

Funktionstabelle für :


0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	0
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

Reduziertes BDD: , , .

Page 53

Realisierung von Booleschen Operationen zwischen BDDs

Gegeben BDDs und , berechne BDD .

Erste Option: Berechne die Funktionstabelle von , erzeuge daraus das BDD mit der Kofaktor-Methode → sehr ineffizient!

Besserer Ansatz: If-Then-Else-Funktion (ITE).

Alle binären Operationen sind auf ITE zurückführbar:

Operation	ITE-Ausdruck

Page 54

Berechnung von ITE auf BDDs – Prinzip

Gegeben sind drei BDDs , und mit der gleichen Variablenordnung. Gesucht ist BDD für .

Es gilt für eine Variable (Substitution/Kofaktor distributiert über alle Operatoren):

ITE-Berechnung im vollständigen BDD:

Sei die oberste Variable in BDDs , und .

BDDs für sind Kinder von .

Berechne BDDs und rekursiv.

Knoten mit Variable und diesen BDDs als Kinder ist das gesuchte BDD.

Page 55

ITE auf reduzierten BDDs

Rekursive Vorgehensweise:

Berechne BDDs und .

Falls , so ist

Sonst generiere Knoten mit Variable , dessen High-Kante auf und Low-Kante auf zeigt.

Terminalfälle:

, , , , .

Weitere Terminalfälle: