Kapitel 6 – Formale Spezifikation von Hardware

Motivation

... zur Eindeutigkeit der Darstellung Boolescher Funktionen

Die Darstellung einer gegebenen Booleschen Funktion als Schaltkreis oder als Boolescher Ausdruck ist im Allgemeinen nicht eindeutig.

Beispiel: „" und „".

Wir kennen eindeutige Darstellungen einer Booleschen Funktion. Zum Beispiel:

Motivation (ctd.)

Aber: Diese eindeutigen Darstellungen sind „sehr sperrig".

Einträge in der Funktionstabelle für Variablen.

Minterme für Funktionen in Variablen.

Ziel: Finde eine eindeutige, aber kompakte Darstellung Boolescher Funktionen.

Wozu Eindeutigkeit?

Zur schnellen Überprüfung, ob zwei Boolesche Funktionen äquivalent sind.

Beispiel: Ein Designer hat Optimierungen an der Hardware vorgenommen und 15 Gatter gespart. Hat er dabei vielleicht die Funktionalität verändert?

→ Erzeuge eindeutige Darstellung für alten und neuen Block und vergleiche.

→ Dieses Vorgehen nennt man (Formalen) Äquivalenzcheck oder auf Englisch (Formal) Equivalence Checking.

Illustration: Formaler Äquivalenztest

(Schaltkreis mit ) (Schaltkreis mit )

→ Eindeutige Darstellung der durch realisierten Booleschen Funktion Eindeutige Darstellung der durch realisierten Booleschen Funktion

Binäre Entscheidungsdiagramme (Binary Decision Diagrams)

BDDs repräsentieren Boolesche Funktionen eindeutig und kompakt.

→ Enthält genau die gleiche Information wie eine Funktionstabelle.

Es gibt Verfahren, um BDD aus einem Schaltkreis zu erzeugen. → Man muss nicht erst die Funktionstabelle erzeugen.

Es existieren Software-Packages, die Erzeugung und Manipulation von BDDs unterstützen (BDD-Bibliotheken):

Optimierungen bei Cache-Ausnutzung, Garbage Collection, usw.

Binary Decision Diagram – Syntax

Sei eine endliche Menge von Variablen.

Definition: Ein BDD ist

BDDs: Semantik

Gegeben sei ein BDD.

Definition: Sei die Funktion, die ein Teil-BDD ausgehend von Knoten beschreibt.

BDDs: Beispiel

BDD mit Knoten: , Blätter:

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs: Beispiel

BDDs von typischen Funktionen

Seien beliebige Boolesche Variablen.

: Knoten , Blätter

BDDs von typischen Funktionen

Seien beliebige Boolesche Variablen.

BDDs von typischen Funktionen

Seien beliebige Boolesche Variablen.

BDDs von typischen Funktionen

Seien beliebige Boolesche Variablen.

BDDs von typischen Funktionen

Seien beliebige Boolesche Variablen.

Variablenordnung

Definition: Ein BDD heißt geordnet, wenn auf jedem Pfad von der Wurzel zu einem Blatt jede Variable höchstens einmal (oder keinmal) als Markierung vorkommt und die Variablen stets in der selben Reihenfolge abgefragt werden.

Diese Reihenfolge heißt Variablenordnung.

Beispiel für unterschiedliche Variablenordnung

BDD mit Variablenordnung :

Beispiel für unterschiedliche Variablenordnung

BDD mit Variablenordnung :

BDD mit Variablenordnung :

Beispiel für unterschiedliche Variablenordnung

BDD mit Variablenordnung :

BDD mit Variablenordnung :

Beide BDDs beschreiben die Boolesche Funktion .

Vollständiges BDD

Ist ein geordnetes BDD, wobei alle Pfade von der Wurzel zu einem Blatt maximale Länge haben und für alle Knoten .

Entspricht genau der Funktionstabelle (Beweis klar).

Zusammenhang: BDD ↔ Boolesche Funktion

Lemma 1: Jedes (geordnete) BDD stellt eine Boolesche Funktion dar.

Beweis: Ist die Wurzel des BDDs, dann erhält man mit der Kompositionsregel die dargestellte Boolesche Funktion .

Lemma 2: Zu jeder Booleschen Funktion existiert ein (geordnetes) BDD, das diese darstellt.

Beweis: Konstruiere vollständiges BDD aus Funktionstabelle.

Eindeutigkeit von BDDs

Reduzierte BDDs

Idee: Stelle Information möglichst kompakt dar, „isomorphe Teil-BDDs" werden identifiziert.

Definition: Ein BDD heißt reduziert, wenn

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (1/2)

Nicht reduziertes BDD mit Knoten: , Blätter:

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (1/2)

Identifikation isomorpher Knoten (4 Paare).

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (1/2)

Nach Identifikation isomorpher Knoten: reduziertes BDD mit Knoten , Blätter .

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (2/2)

Reduziertes BDD: , Blätter .

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (2/2)

Redundante Knoten im BDD markiert.

Beispiel für reduzierte und nicht reduzierte BDDs (2/2)

Nach Entfernen redundanter Knoten: , Blätter .

Beispiel: Reduktion eines BDDs (1/7)

Vollständiges BDD für 4 Variablen mit 16 Blättern.

Beispiel: Reduktion eines BDDs (1/7)

Identifikation isomorpher Teil-BDDs:

Beispiel: Reduktion eines BDDs (2/7)

Gleiche Struktur nach Identifikation der isomorphen Teil-BDDs.

Beispiel: Reduktion eines BDDs (3/7)

Weitere Reduktion durch Entfernen redundanter Knoten.

Beispiel: Reduktion eines BDDs (4/7)

Weitere Reduktion.

Beispiel: Reduktion eines BDDs (5/7)

Reduziertes BDD mit , Blätter .

Beispiel: Reduktion eines BDDs (5/7)

Gleiche Struktur mit markierten -Blättern.

Beispiel: Reduktion eines BDDs (6/7)

Reduziertes BDD mit , , , .

Beispiel: Reduktion eines BDDs (7/7)

Finale reduzierte Form:

Beispiel: Reduktion eines BDDs (7/7)

Finale reduzierte Form mit annotierten Teil-BDDs:

Satz von Bryant (1986)

Satz: ROBDDs (Reduced Ordered BDDs, geordnete, reduzierte BDDs) sind kanonische Darstellungen Boolescher Funktionen.

Ohne Beweis.

Bedeutung: Für eine fixe Variablenordnung ist ein ROBDD eine eindeutige Darstellung für eine Boolesche Funktion.

Notation: Ab sofort bezeichnen wir ROBDDs als BDDs.