Kapitel 6 – Formale Spezifikation von Hardware

Motivation

Der Entwurf von ReTI hat (hoffentlich) gezeigt, dass Hardware-Synthese komplex und fehleranfällig ist. Es gibt automatische Methoden, um Fehler zu finden oder ihre Abwesenheit nachzuweisen. Für ihre Anwendbarkeit muss ein Schaltkreis formal vollständig spezifiziert werden. Wir schauen uns daher Boolesche Funktionen nochmals (und genauer) an und lernen effiziente Algorithmen und Datenstrukturen zu ihrer Handhabung kennen.

Boolesche Algebren – allgemein

Es sei eine Menge, auf der zwei binäre Operationen und und eine unäre Operation definiert sind.

Das Tupel heißt Boolesche Algebra, falls für alle die folgenden Axiome gelten:

Beispiele Boolescher Algebren

Allgemein: Lässt sich eine Aussage direkt aus den Axiomen herleiten, dann gilt sie in allen Booleschen Algebren! Man darf beim Beweis der Aussage aber auch wirklich nur die Axiome verwenden und keine Eigenschaften der konkreten Booleschen Algebra.

Boolesche Algebra der Teilmengen von

Satz: ist eine Boolesche Algebra.

Beweis: Nachrechnen, dass alle Axiome gelten.

Beispiel: Absorption

Seien .

Dann ist

und .

Boolesche Algebra der Funktionen in Variablen

Satz: ist eine Boolesche Algebra.

Beweis: Nachrechnen, dass alle Axiome gelten.

Beispiel: Kommutativität

Seien . Für alle gilt:

Also .

Weitere, aus den Axiomen ableitbare Regeln:

Existenz neutraler Elemente:

Doppeltes Komplement:

Eindeutigkeit des Komplements:

Idempotenz:

de Morgan-Regel:

Consensus-Regel:

Diese Regeln gelten in allen Booleschen Algebren!

Dualitätsprinzip bei Booleschen Algebren

Prinzip der Dualität: Gilt eine aus den Gesetzen der Booleschen Algebra abgeleitete Gleichung , so gilt auch die zu duale Gleichung, die aus hervorgeht durch gleichzeitiges Vertauschen von und , sowie und .

Beispiel:

Boolesche Ausdrücke – allgemein

Formal vollständige Definition Boolescher Ausdrücke:

→ Zweck: Einem Rechner unzweifelhaft „beibringen", was und was nicht ein Boolescher Ausdruck ist und was seine Funktion bezüglich einer Booleschen Algebra ist.

→ Zum Beispiel: Unterschied zwischen dem Ausdruck „" und der Funktion .

Syntax Boolescher Ausdrücke

Sei eine endliche Menge von Symbolen/Variablen.

Sei ein Alphabet.

Definition: Die Menge der vollständig geklammerten Booleschen Ausdrücke über ist eine Teilmenge von , die folgendermaßen induktiv definiert ist:

Schreibweise von

Konvention: Negation bindet stärker als Konjunktion , Konjunktion bindet stärker als Disjunktion .

→ Klammern können weggelassen werden, ohne dass Mehrdeutigkeiten entstehen.

Je nach Kontext (betrachtete Boolesche Algebra) schreibt man auch

→ So „vereinfachte" Ausdrücke entsprechen zwar nicht genau der obigen Definition, es gibt aber für jeden solchen Ausdruck einen äquivalenten vollständig geklammerten Ausdruck im Sinne der Definition.

Beispiel: Der äquivalente vollständig geklammerte Ausdruck für „" wäre „".

Semantik Boolescher Ausdrücke

Sei eine beliebige Boolesche Algebra.

Seien die neutralen Elemente von .

Definition: Jedem Booleschen Ausdruck kann durch eine Interpretationsfunktion eine Boolesche Funktion von nach zugeordnet werden.

wird folgendermaßen induktiv definiert:

Interpretation Boolescher Ausdrücke

Sei ein Boolescher Ausdruck.

für ein ergibt sich durch Ersetzen von durch in , für alle , und Rechnen in der Booleschen Algebra .

Gilt für eine Boolesche Funktion , so sagen wir, dass ein Boolescher Ausdruck für ist, bzw. dass die Boolesche Funktion beschreibt.

Zwei Boolesche Ausdrücke und heißen äquivalent () genau dann, wenn .

Sie sind gleich, wenn .

Wir betrachten folgend nur noch die Interpretation in .

Boolesche Ausdrücke ↔ Boolesche Funktionen

Lemma 1: Zu jedem Booleschen Ausdruck existiert eine Boolesche Funktion , die durch beschrieben wird.

Beweis:

Lemma 2: Zu jeder Booleschen Funktion existiert ein Boolescher Ausdruck, der beschreibt.

Beweis: Es gilt:

m.a.W. Die DNF ist ein Boolescher Ausdruck.

Zusammenhang mit Schaltkreisen

Lemma 3: Zu jedem Booleschen Ausdruck gibt es einen kombinatorischen Schaltkreis, der implementiert.

Zu jeder Booleschen Funktion gibt es einen kombinatorischen Schaltkreis, der sie implementiert (zum Beispiel zweistufige Umsetzung der DNF/KDNF).

Zu jedem kombinatorischen Schaltkreis gibt es sowohl eine Boolesche Funktion als auch einen Booleschen Ausdruck.