k352-Arithmetische_Schaltungen_CSA_etc

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Kapitel 3 – Kombinatorische Logik

  1. Kombinatorische Schaltkreise
  2. Boolesche Algebren
  3. Boolesche Ausdrücke, Normalformen, zweistufige Synthese
  4. Berechnung eines Minimalpolynoms
  5. Arithmetische Schaltungen
    • 5.1 Carry-Ripple-Addierer
    • 5.2 CSA, 2er-Komplement, Subtraktion
  6. Anwendung: ALU von ReTI

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik

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n-Bit-Inkrementer

Definition: Ein n-Bit-Inkrementer berechnet die Funktion

Ein Inkrementer ist ein Addierer mit für alle .
Ersetze in die FA durch HA.

Kosten und Tiefe:

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n-Bit-Multiplexer

Definition: Ein n-Bit-Multiplexer berechnet die Funktion

Es gilt:

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Aufbau von

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Schaltbild und Kosten

Kosten und Tiefe:

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Rückkehr zum Addierer

Gibt es billigere Addierer als ?

Notation: Sei . Dann sind und wie folgt definiert:

(Wir legen hier die Bibliothek zugrunde.)

Untere Schranken:

  • Binäre Bäume mit Blättern haben innere Knoten.
  • Binäre Bäume mit Blättern haben mindestens Tiefe .

Im Folgenden sei .

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Conditional-Sum-Addierer (CSA)

Idee: Nutze Parallelverarbeitung, um Tiefe zu reduzieren!

ää

ää

ää

.

: Siehe nächste Folie.

Im Folgenden sei .

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Aufbau von

  • Obere Hälfte () und untere Hälfte () werden jeweils durch addiert.
  • Ein wählt basierend auf dem Übertrag der unteren Hälfte das richtige Ergebnis der oberen Hälfte aus.
  • : Eingangsübertrag der unteren Hälfte.
  • : Summen der oberen bzw. unteren Hälfte.

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Komplexität von : Tiefe

Satz: hat Tiefe .

Beweis: Setze voraus.

: .

:

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Komplexität von : Kosten

Satz:

Beweis (Induktion): Setze voraus.

: .

IV:

IS, :

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Komplexität von : Kosten

Satz:

Man kann den hier vorgestellten CSA in einfacher Weise modifizieren, so dass

  • Tiefe ,
  • Kosten .

Es gibt auch Addierer mit linearen Kosten und logarithmischer Tiefe: Carry-Lookahead-Addierer (CLA).

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Addition von Zweierkomplementzahlen

Auszurechnen ist:

Im Fall von -Bit-Zweierkomplementzahlen können Ergebnisse im Bereich dargestellt werden; andernfalls kommt es zu einem Überlauf.

Der Satz auf der nächsten Folie sagt aus:

  • Kommt es bei der Addition nicht zu einem Überlauf, so kann man den „gewöhnlichen" Binäraddierer zur Addition von Zweierkomplementzahlen benutzen.
  • Ob es zu einem Überlauf kommt, lässt sich anhand von Werten , und im Binäraddierer entscheiden.

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Zweierkomplement-Addition

Satz: Seien , und , so dass .

Dann gilt:

Beweis durch Fallunterscheidung (, beide positiv, beide negativ, positiv / negativ) und weitere Fallunterscheidung, ob Übertrag auf (Vorzeichen-)Stelle kommt.

Man kann einen alternativen Überlauftest zeigen:

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Äquivalenz der Überlauftests

„„

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Addierer für -Bit-Zweierkomplement-Zahlen

  • Eingänge: und sowie Eingangscarry
  • Ausgänge: sowie Überlaufsignal

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Zweierkomplement-Addition im Beispiel

Beispiel: , 

  0 0 0 1   (= 1)
+ 0 0 1 1   (= 3)
----------
  0 1 0 0   (= 4)

  0 1 0 1   (= 5)
+ 1 0 0 1   (= -7)
----------
  1 1 0 0   (= -4)

  0 0 1 1   (= 3)
+ 0 1 0 1   (= 5)
----------
  1 0 0 1   (Überlauf!)

  1 1 0 0   (= -4)
+ 1 0 1 1   (= -5)
----------
  1 1 0 1   (Überlauf!)

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Subtraktion

Wegen kann zurückgeführt werden auf .

Beispiel:

  0 1 1 0
+ 1 0 0 0
+       1
---------
  1 1 1 1

Den Schaltkreis für Subtraktion gewinnt man aus einem Addierer. Kombinierter Addierer/Subtrahierer.

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Subtrahierer