k351-Arithmetische_Schaltungen_Carry_Ripple
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Kapitel 3 – Kombinatorische Logik
- Kombinatorische Schaltkreise
- Boolesche Algebren
- Boolesche Ausdrücke, Normalformen, zweistufige Synthese
- Berechnung eines Minimalpolynoms
- Arithmetische Schaltungen
- 5.1 Carry-Ripple-Addierer
- 5.2 CSA, 2er-Komplement, Subtraktion
- Anwendung: ALU von ReTI
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik
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Arithmetische Schaltungen
- Addieren nach der Schulmethode: Carry-Ripple-Addierer.
- Effizienteres Addieren: Conditional-Sum-Addierer.
- Addition von Zweierkomplement-Zahlen.
- Subtrahierer.
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Kosten von Schaltkreisen
Um unterschiedliche Schaltkreise, die eine Funktion (z.B. Addierer) implementieren, miteinander zu vergleichen, benötigt man ein Kostenmaß.
Definition: Die Kosten
- Deutet auf die Fläche und den Energieverbrauch der resultierenden Hardware-Blöcke hin.
Definition: Die Tiefe
- Deutet auf die Signallaufzeit durch
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Beispiel: Kosten und Tiefe
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Teilschaltkreise, hierarchischer Entwurf (informell)
Illustration eines Teilschaltkreises.
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Hierarchische Schaltkreise
- In hierarchischen Schaltkreisen sind Teilschaltkreise durch Symbole ersetzt.
- Den zugehörigen („flachen") Schaltkreis erhält man, indem man die Symbole durch Einsetzen der Teilschaltkreise wieder entfernt.
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Wiederholung Zahlendarstellung
Sei
Binärdarstellung:
Zweierkomplement:
Rechenregel:
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Addierer für nichtnegative Zahlen
Gegeben:
2 positive Binärzahlen
Gesucht:
Schaltkreis, der Binärdarstellung
Wegen
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Formale Definition n-Bit-Addierer
Ein n-Bit-Addierer ist ein Schaltkreis, der die folgende Boolesche Funktion berechnet:
mit
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Addieren nach der Schulmethode (1/4)
Wir werden im Folgenden den einfachsten Addierertypen einführen, der die „Schulmethode" umsetzt. Hierzu werden einige Grundschaltungen (Halb- und Volladdierer) notwendig sein.
Beispiel für die Schulmethode:
a: 1 0 1 1
+ b: 0 1 1 0
-------
c: 1 1 1 0 0
s: 1 0 0 0 1
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Addieren nach der Schulmethode (2/4)
a: 1 0 1 1
+ b: 0 1 1 0
-------
c: 0 0 1 1 1 0
s: 1 0 0 0 1
Verwendung eines Halbaddierers (HA) für die niederwertigste Stelle.
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Halbaddierer (Half Adder, HA)
Ein Halbaddierer dient zur Addition zweier 1-Bit-Zahlen ohne Eingangsübertrag. Er berechnet die Funktion
wobei
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
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Schaltkreis eines Halbaddierers
dabei gilt:
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Addieren nach der Schulmethode (3/4)
a: 1 0 1 1
+ b: 0 1 1 0
-------
c: 0 0 1 1 1 0
s: 1 0 0 0 1
Verwendung eines Volladdierers (FA) für die höherwertigen Stellen.
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Volladdierer (Full Adder, FA)
Ein Volladdierer dient zur Addition zweier 1-Bit-Zahlen mit Eingangsübertrag. Er berechnet die Funktion
wobei
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
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Volladdierer als Funktion von HAs
Aus der Tabelle folgt:
Kosten und Tiefe eines FA:
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Schaltkreis eines Volladdierers
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Addieren nach der Schulmethode (4/4)
a: 1 0 1 1
+ b: 0 1 1 0
-------
c: 0 0 1 1 1 0
s: 1 0 0 0 1
Verwendung von HA und FA im Carry-Ripple-Addierer (CRA).
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Aufbau eines Carry-Ripple-Addierers
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Induktive Definition des Carry-Ripple-Addierers CR
Für
Für
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Zwei (identische) Darstellungen von CR
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Carry-Ripple-Addierer
Satz:
Beweis (durch Induktion):
Zeige für Ausgabe
Nach Induktionsvoraussetzung gilt für
Wegen FA-Eigenschaft gilt:
Insgesamt:
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Schaltbild und Komplexität von CR
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Schaltbild und Komplexität von CR
Sowohl die Kosten als auch die Tiefe von
Es gibt (asymptotisch) bessere Addierer. Wir werden hier den Conditional-Sum-Addierer kennen lernen, für den wir wieder eine Hilfsschaltung (Multiplexer) benötigen. Eine weitere wichtige Schaltung ist der Inkrementer.