k332-BA_Normalformen_zweistufige_Synthese_Logikminimierung

Kapitel 3 – Kombinatorische Logik

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik

Kombinatorische Schaltkreise – zweistufig

Ziel:
Wir werden zeigen, dass sich jede Boolesche Funktion als ein Polynom, d.h. als eine Disjunktion (ODER-Verknüpfung) von Monomen, die ihrerseits Konjunktionen (UND-Verknüpfungen) von Eingangsvariablen und negierten Eingangsvariablen sind, darstellen lässt.

Wir werden für solche Darstellungen Kostenkriterien aufstellen und diese optimieren.

Monome und Polynome sind spezielle Boolesche Ausdrücke.

Das Problem der zweistufigen Logikminimierung

Gegeben: Eine Boolesche Funktion in Variablen und Ausgängen in Form einer Tabelle der Dimension oder einer Menge von Polynomen mit .

Gesucht: Polynome , so dass für alle der Funktion entspricht und die Kosten minimal sind.

Ab sofort werden nur noch Funktionen mit einem Ausgang betrachtet (also ).

Veranschaulichung von

1-dim Würfel: 0 — 1

2-dim Würfel:

3-dim Würfel:

4-dim Würfel: (siehe Bild)

Veranschaulichung von durch Karnaugh-Veitch

Funktion wird als Tabelle dargestellt.

Gray-Code für die Einträge: nur ein Bit Unterscheidung von einem Wert zum nächsten.

4 Variablen

Eigentlich Torus (Wikipedia-Bild). Für mehr als 4 Variablen: Schwer sich das Vorzustellen.

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

1001 nicht maximal!

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

Ziel: Maximale Bedeckung finden

Bedeckung = Viereck, immer maximal

Also:

Veranschaulichung durch Würfel

Jede Boolesche Funktion in Variablen und einem Ausgang kann über einen -dimensionalen Würfel durch Markierung der -Menge spezifiziert werden.

Beispiel:

Monome und Polynome als Teilwürfel

Monome der Länge entsprechen -dimensionalen Teilwürfeln!

Ein Polynom entspricht einer Vereinigung von Teilwürfeln.

Beispiel:

Zweistufige Logikminimierung als Überdeckungsproblem auf dem Würfel

Gegeben: Boolesche Funktion in Variablen und einem Ausgang, in Form eines markierten -dimensionalen Würfels.

Gesucht: Eine minimale Überdeckung der markierten Knoten durch maximale Teilwürfel im -dimensionalen Würfel.

Entspricht einer Minimallösung:

nicht maximal!!

Minimale Kosten

Gegeben ein PLA mit Ausgängen und jede Funktion ist durch ein Minimalpolynom, also eine Minimallösung, die die Funktion überdeckt wie auf der vorherigen Folie, realisiert.

Sind die gesamten Kosten des PLA folglich auch minimal?

a. Ja.
b. Nein.

Implikanten und Primimplikanten

Definition:
Eine Boolesche Funktion ist kleiner gleich einer anderen Booleschen Funktion (), wenn . (Das heißt, wenn an einer Stelle 1 ist, dann auch .)

Definition:
Sei eine Boolesche Funktion mit einem Ausgang. Ein Implikant von ist ein Monom mit . Ein Primimplikant von ist ein maximaler Implikant von , das heißt es gibt keinen Implikanten () von mit .

Implikanten und Primimplikanten können durch -dimensionale Würfel veranschaulicht werden.

Veranschaulichung durch Würfel

Illustration für konkrete Funktion

Implikanten:

Allgemein:
Die Implikanten sind die Teilwürfel, deren Ecken alle markiert sind.

Illustration für konkrete Funktion

Implikanten:

Allgemein:
Die Implikanten sind die Teilwürfel, deren Ecken alle markiert sind.

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Bestimmung von Primimplikanten

Es gibt 3 Primimplikanten der durch unseren Würfel definierten Funktion:

Polynome und Implikanten einer Funktion

Lemma:
Die Monome eines Polynoms von sind alle Implikanten von .

Beweis: (durch Widerspruch)

Annahme:
Es gibt ein Polynom von , das ein Monom enthält, welches nicht Implikant von ist, d.h. es gilt nicht:

Das heißt es gibt Belegung der Variablen mit

Demnach ist , also kein Polynom von .

⇒ Widerspruch!