k32-Boolesche_Algebren
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Kapitel 3 – Kombinatorische Logik
- Kombinatorische Schaltkreise
- Boolesche Algebren
- Boolesche Ausdrücke, Normalformen, zweistufige Synthese
- Berechnung eines Minimalpolynoms
- Arithmetische Schaltungen
- Anwendung: ALU von ReTI
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik
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Überblick
- Boolesche Funktionen kann man durch Schaltkreise darstellen.
- Wir werden uns als nächstes mit Logiksynthese für zweistufige Schaltkreise beschäftigen.
- Bei der Logiksynthese für zweistufige Schaltkreise macht man häufig von einer alternativen Darstellungsform Gebrauch, den Booleschen Ausdrücken.
- Führe daher Boolesche Ausdrücke zunächst sauber ein, vorher aber noch eine etwas genauere Betrachtung von Booleschen Algebren.
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Boolesche Algebren - allgemein
Es sei
Das Tupel
| Axiom | Gleichung 1 | Gleichung 2 |
|---|---|---|
| Kommutativität | ||
| Assoziativität | ||
| Absorption | ||
| Distributivität | ||
| Komplement |
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Beispiele Boolescher Algebren: Boolesche Algebra
Definition:
Konjunktion (UND-Verknüpfung)
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Disjunktion (ODER-Verknüpfung)
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Negation
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
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Beispiele Boolescher Algebren: Boolesche Algebra
Konventionen
- Man schreibt auch
- Für
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Weitere Beispiele Boolescher Algebren
- Boolesche Algebra der Booleschen Funktionen in
- Boolesche Algebra der Teilmengen einer Menge
Man darf beim Beweis der Aussage aber auch wirklich nur die Axiome verwenden und keine Eigenschaften der konkreten Booleschen Algebra.
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Boolesche Algebra der Funktionen in
- Menge:
Satz:
Beweis: Nachrechnen, dass alle Axiome gelten.
Beispiel: Kommutativität
Betrachte beliebige
Für alle
Also
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Boolesche Algebra der Teilmengen von
- Menge: Potenzmenge von
Satz:
Beweis: Nachrechnen, dass alle Axiome gelten.
Beispiel: Absorption
Betrachte beliebige
Dann ist
und
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Zusammenhang zwischen
Eine Funktion
Die Operationen in
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Weitere, aus den Axiomen ableitbare Regeln:
Existenz und Eindeutigkeit neutraler Elemente:
und außerdem sind die Elemente
Doppeltes Komplement:
Eindeutigkeit des Komplements:
Idempotenz:
de Morgan-Regel:
Consensus-Regel:
Diese Regeln gelten in allen Booleschen Algebren!
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Dualitätsprinzip bei Booleschen Algebren
Prinzip der Dualität: Gilt eine aus den Axiomen der Booleschen Algebra abgeleitete Gleichung
Beispiel: