k220-Kodierung_von_Zahlen

Kapitel 2 – Kodierung

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. Armin Biere
Institut für Informatik

Zahlensysteme

Definition: Ein Zahlensystem ist ein Tripel mit den folgenden Eigenschaften:

Beispiele für Zahlensysteme

Festkommazahlen

Definition: Eine Festkommazahl ist eine endliche Folge von Ziffern aus einem Zahlensystem zur Basis mit Ziffernmenge .
Sie besteht aus Vorkommastellen () und Nachkommastellen.
Der Wert einer nicht-negativen Festkommazahl

ist gegeben durch

Festkommazahlen: Schreibweise

Vorkomma- und Nachkommastellen werden zur Verdeutlichung durch ein Komma oder einen Punkt getrennt:

Um anzudeuten, welches Zahlensystem zu Grunde liegt, wird gelegentlich die Basis als Index an die Ziffernfolge angehängt.

Beispiel ():

Negative Festkommazahlen

Im Folgenden werden Basis 2 und 0 Nachkommastellen angenommen.
Bei der Darstellung negativer Festkommazahlen nimmt die höchstwertigste Stelle eine Sonderrolle ein:
Ist , so handelt es sich um eine nichtnegative Zahl.

Bei der Darstellung negativer Zahlen gibt es folgende Alternativen:

Betrag und Vorzeichen:

Einer-Komplement-Darstellung:

Zweier-Komplement-Darstellung:

Betrag und Vorzeichen

Beispiel:

Der Zahlenbereich ist symmetrisch:
Kleinste Zahl: , größte Zahl:

Man erhält zu die inverse Zahl, indem man das erste Bit komplementiert.
Zwei Darstellungen für die Null (000 und 100 im Beispiel).

Einer-Komplement

Beispiel:

Der Zahlenbereich ist symmetrisch:
Zwei Darstellungen für die Null (000 und 111 im Beispiel).
Man erhält zu die inverse Zahl, indem man alle Bits komplementiert (siehe Lemma nächste Folie).

Einer-Komplement: Inversion

Lemma: Sei eine Festkommazahl, die Festkommazahl, die aus durch Komplementieren aller Bits () hervorgeht.
Dann gilt .

Beweis: ...

Zweier-Komplement

Beispiel:

Der Zahlenbereich ist asymmetrisch:
Die Zahlendarstellung ist eindeutig, auch für die Null.
Man erhält zu die inverse Zahl, indem man alle Bits komplementiert und an der niederwertigsten Stelle 1 addiert (siehe Lemma nächste Folie).

Zweier-Komplement: Inversion

Lemma: Sei eine Festkommazahl, die Festkommazahl, die aus durch Komplementieren aller Bits () hervorgeht.
Dann gilt .

Beweis: Übung

Vorteil von Zweier-Komplement

Wir werden später Schaltungen betrachten, die zwei Zahlen als Eingaben nehmen und ihre Summe oder Differenz an den Ausgängen bereit stellen (Addierer, Subtrahierer).
Es stellt sich heraus, dass diese Schaltungen besonders einfach sind, wenn Negativzahlen im Zweier-Komplement dargestellt werden.
Daher wird in der Praxis oft die Zweier-Komplement-Darstellung verwendet.

Festkommazahlen – Übersicht

Betrag mit Vorzeichen:

Einerkomplement:

Zweierkomplement:

Beispiel:

Zahlenkodierung

Beantworte folgende Fragen ():

Schreibe im Dezimalsystem:

Zahlenkodierung

Beantworte folgende Fragen ():

Schreibe im Dezimalsystem:

Berechne :
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Beispiel Festkommazahlen

Frage: Welche der Aussagen sind wahr für die Zahl ?

a.
b.
c. ist das (additive) Inverse zu
d.

Probleme von Festkommazahlen

Betrachte (positive) Festkommazahlen mit Vor- und Nachkommastellen, Vorzeichenbit .

Keine ganz großen bzw. kleinen Zahlen darstellbar!

Operationen sind nicht abgeschlossen!
ist nicht darstellbar, obwohl die Operanden darstellbar sind.

Rechengesetze wie Assoziativgesetz gelten nicht, da bei ihrer Anwendung evtl. der darstellbare Zahlenbereich verlassen wird!

Beispiel:

Gleitkomma-Zahlen

Die verfügbaren Bits werden in Vorzeichen , Exponent und Mantisse unterteilt.

Einfache Genauigkeit (insg. 32 Bit) – "float":

Doppelte Genauigkeit (insg. 64 Bit) – "double":

Implementierungsdetails: siehe IEEE754-Standard, bzw. Computer Architecture Vorlesung.