k110-Mathematische_Grundlagen

Kapitel 1 – Grundlagen

Mathematische Grundlagen
Verständigung auf gemeinsame Basis
Die meisten Begriffe sollten bekannt sein, bzw. werden in
anderen Vorlesungen noch formal und im Detail eingeführt.
Hier: Informale, möglichst intuitive Einführung

„Philosophie" der Mathematik
Gegeben gewisse Aussagen (Axiome), welche andere
Aussagen lassen sich aus ihnen herleiten?
Sind die Axiome wahr und existiert eine solche Herleitung
(Beweis), so sind die Folgerungen unumstößlich und
indiskutabel wahr!
Beschreiben die Axiome etwa ein physikalisches System,
so gelten die hergeleiteten Folgerungen für dieses System.
Die Frage, ob Axiome Realitätsbezug haben, ist aber
außerhalb der (reinen) Mathematik!

Menge (Naive Definition)

Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten, paarweise verschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte nennt man Elemente der Menge.

(Für eine formal vollständige Definition der Menge bräuchte man mehrere Vorlesungsstunden.)

Notation: Sind paarweise verschieden, so schreibt man die Menge , die aus ihnen besteht, als . bezeichnet, dass Element von ist.

Beispiele für Mengen

Achtung: Die Anordnung von Elementen der Menge und gegebenenfalls Wiederholungen sind belanglos: .

Eine Menge kann Elemente enthalten, die selber Mengen sind, z.B. .

Spezifikation von Mengen
Man kann eine Menge durch Angabe von Zusatzbedingungen spezifizieren.

Beispiele:

Untermengen, Potenzmenge, Mächtigkeit
Menge ist Untermenge von , wenn jedes Element von auch Element von ist.

Notation: bzw.
es wird auch verwendet aber '' präziser

Achtung: , aber

Potenzmenge von : .

Die Anzahl der Elemente einer Menge heißt Mächtigkeit oder Kardinalität von .

Operationen auf Mengen 1/2

Mengendifferenz:

Mengenschnitt:

Operationen auf Mengen 2/2

Mengenvereinigung:

Kartesisches Produkt:

ist ein Tupel, bei dem es, im Gegensatz zu einer Menge , auf die Reihenfolge ankommt!

Notation: .

Mengen
Frage: Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

a.

b.

c.

d.

e.

Relationen

Definition: Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge von .

Notation: Statt schreibt man .

Beispiele:

Funktionen

Definition: Seien und Mengen. Eine Funktion ist eine Relation zwischen den Mengen und , wobei für jedes genau ein existiert, so dass .

heißt Definitionsbereich, Wertebereich von .

Notation: Statt schreibt man .

Beispiele:

Beispiele: Relationen, Funktionen
Jede Funktion ist auch eine Relation.
Es gibt aber Relationen, die keine Funktionen sind.
Beispiel:

... ist eine Relation, aber keine Funktion!

Summen und Produkte (Notation)
Wir schreiben für

Beispiel:

Schreibweise mit beliebigen Bedingungen:

Boolesche Algebra 1/4

Definition:

Konjunktion (UND-Verknüpfung)

Disjunktion (ODER-Verknüpfung)

Negation

Boolescher Ausdruck
Die Elemente aus sind Boolesche Ausdrücke.
Seien und Boolesche Ausdrücke, dann sind , , wieder Boolesche Ausdrücke.

Boolesche Algebra 2/4

Konventionen
Man schreibt auch statt und statt .
Für sind viele Notationen üblich: , oder .

Zur Vereinfachung der Notation bei Booleschen Ausdrücken vereinbaren wir:

Boolesche Algebra 3/4

Axiome der Booleschen Algebra

Kommutativität:

Assoziativität:

Absorption:

Distributivität:

Komplement:

Ausdrücke
Frage: Welche dieser Umformungen Boolescher Ausdrücke sind richtig? Das heißt, die Gleichung ist immer erfüllt für alle möglichen Werte von .

a.
b.
c.

Boolesche Algebra 4/4
Neben der vorgestellten gibt es weitere Boolesche Algebren, in denen diese Axiome gelten.
Die folgenden Regeln sind aus den Axiomen ableitbar:

Weitere Regeln für Boolesche Algebren

Doppeltes Komplement:

Idempotenz:

De-Morgan-Regel:

Consensus-Regel:

Resolution:

Boolesche Funktion

Definition: Eine Boolesche Funktion in Variablen und mit Ausgängen ist eine Funktion
mit .

Die Menge aller Booleschen Funktionen in Variablen mit Ausgängen ist

Wir schreiben abkürzend statt .

Ein digitaler Schaltkreis ohne Speicherelemente, mit Eingängen und Ausgängen realisiert eine solche Funktion! (Details später)

Gerichteter Graph

Definition: ist ein gerichteter Graph, wenn folgendes gilt:

Pfade in gerichteten Graphen
Ein Knoten mit

Ein Pfad (der Länge ) in ist eine Folge von Kanten () mit für alle ().

Ein Zyklus in ist ein Pfad der Länge in , bei dem Ziel und Quelle identisch sind ( heißt azyklisch, falls kein Zyklus in existiert).

Die Graph-Tiefe eines azyklischen Graphen ist definiert als die Länge des längsten Pfades in .

Bäume, Binäre Bäume

Definition: Ein Baum ist ein gerichteter, azyklischer Graph mit genau einer Wurzel () und für alle andere Knoten .

Ein Baum heißt binär (bzw. Binärbaum), wenn für seine innere Knoten gilt.

Beispiele:

Groß-O-Notation (1/2)
Seien .
Man schreibt , wenn es , gibt, so dass für alle gilt.

Beispiel:

Beweis: Setze
ü

Groß-O-Notation wird verwendet, um Größe von parametrisierten Objekten (z.B. Graphen), Laufzeit von Algorithmen (Anzahl von Rechenschritten in Abhängigkeit von der Eingabe) usw. asymptotisch, d.h. bis auf eine multiplikative Konstante, abzuschätzen.

Die Notation ist weit verbreitet, aber eigentlich falsch, da eine Menge ist. So folgt aus und keinesfalls !

Groß-O-Notation (2/2)

O-Notation
Gegeben:
Welche Aussagen sind dann wahr?

O-Notation
Gegeben:
Welche Aussagen sind dann wahr?

O-Notation
Gegeben:
Welche Aussagen sind dann wahr?

Beweistechniken

Sukzessive Folgerungen
Gegeben Aussage , es soll Aussage bewiesen werden.
Sukzessive Folgerungen:
Aus folgt , aus folgt , aus folgt , also gilt .

Beispiel: Sukzessive Folgerungen
Gegeben ,
, .
Dann gilt .

Beweis:

Indirekter Beweis 1/2
Es soll Aussage bewiesen werden.
Indirekter Beweis: Man nimmt an, (also die Umkehrung von ) würde gelten. Daraus leitet man einen Widerspruch her (z.B. " und ", "", ...).
Da der Widerspruch schrittweise aus logisch hergeleitet wurde, kann nicht gelten und somit muss gelten.

Indirekter Beweis 2/2
Betrachte den Spezialfall .
Dann ist . Man nimmt an, dass gilt, aber .
Ergibt sich aus der Annahme ein Widerspruch, dann muss aus der Gültigkeit von die Gültigkeit von folgen.
Ergibt sich der Widerspruch speziell durch Herleitung von aus , dann reduziert sich der Widerspruchsbeweis auf den Spezialfall Beweis der "Kontraposition" .
und sind logisch äquivalent.
Implizit setzt man immer die Gültigkeit sämtlicher Axiome voraus. Sei die Aussage "Sämtliche Axiome gelten".
Dann ist zu beweisen.
Annahme ist dann also und daraus ist ein Widerspruch herzuleiten.

Beispiel: Indirekter Beweis
Zu zeigen:

Beweis:
Wir nehmen an, dass wäre. Dann gibt es und , so dass für gilt:
Wir suchen nun ein , für das , z.B. .
Man wähle ein . Dann gilt für :
Andererseits muss für auch (1) gelten. Widerspruch!
Somit kann die Annahme nicht stimmen.

Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion ist eine Beweismethode für Aussagen (Behauptung), die für alle natürlichen Zahlen gelten sollen.
Zuerst wird im Induktionsanfang die Aussage für den Basisfall bewiesen (manchmal oder höher).
Dann wird der Induktionsschritt durchgeführt:
Unter der Annahme, dass die Aussage für gilt (Induktionsvoraussetzung) wird bewiesen, dass die Aussage auch für gilt.
Daraus folgt die Aussage für alle natürlichen Zahlen.

Vollständige Induktion: Beispiel (1/2)

Behauptung:
ü

Induktionsanfang:
Zeige die Behauptung für .

Vollständige Induktion: Beispiel (2/2)

Induktionsvoraussetzung (IV):
Nehme an, die Behauptung gilt für ein .
Also: Es gibt ein für das gilt:

Induktionsschritt:
Zeige die Behauptung für .